Enoncé :

D'après le petit théorème de Fermat on a :
Si p est premier alors, pour tout entier m on peut dire que m^p=m mod [p].

Preuve :

(Note : l'opérateur de somme finie sera noté "Sigma[intervalle de sommation, terme de sommation]" et les coeficients de combinaison "C[p, n]")
Par récurrence sur m :
Pour m=0 c'est évident (aussi pour m=1) : 0=0 mod [p].
Supposons la propriété vraie pour m et montrons la pour m+1 :
(m+1)^p = Sigma[pour i=0..p, C[i, p] * m^i] = 1 + p*Q + m^p
Ou Q est un certain nombre entier, car C[i, p] est divisible par p, pour 0 < i < p.
(par décomposition en facteurs premiers : dans C[i, p] = p! / (i!*(p-i)!) on a p en haut, or i < p et p-i < p)
Et d'après l'hypothèse de récurrence : m^p = m mod [p]
Or 1=1 mod [p] et (p*Q)^p = p*Q' = 0 mod [p] ou Q' est un autre nombre entier.
Et en sommant, m^p + p*Q + 1 = m + 1 mod [p].
D'où (m+1)^p = (m+1) mod [p].
Et le théorème est démontré.